• 啊,好久没更新过博客了~~
  • 余式定理相关题目中,总有一种比较抽象的题型会比较讨厌。相对来说难以理解:把过程记下来了不用一段时间就会忘却,尝试去理解重新推导成本很高。
  • 为了防止我以后忘记这个思路,也为了防止我手贱丢掉那张草稿纸,我决定把这个思路记下来。

例题

  • 已知 \(f\left(x\right)=A\times\left(x-1\right)+2\) 除以 \(x-1\) 余式为 \(1\) ; 除以 \(x^{2}-2x+3\) 余式为 \(4x+6\) ;
    求 \(f\left( x\right)\) 除以 \(\left( x-1\right) \left( x^{2}-2x+3\right)\) 的余式。

  • 由题得两式子
  • \(f\left(x\right)=A\times\left(x-1\right)+2\) ①
  • \(f\left(x\right)=B\times\left(x^{2}-2x+3\right)+4x+6\) ②
  • \(f\left(x\right)=C\times\left(x-1\right)\left(x^{2}-2x+3\right) + ax^{2}+bx+c\) ③ ← 顺便设一个式子
  • 因为 \(f\left( x\right)\) 可以由上面的随便一个式子来表达,所以我们就拿我们设出来的③式来除上面任意的一个式子。当然,为了方便处理,一般都除以除式次数较高的那一条。
  • 操作一下 \(f\left(x\right)=C\times\left(x-1\right)\left(x^{2}-2x+3\right) + ax^{2}+bx+c\) 除以 \(x^{2}-2x+3\) 得到 \(f\left(x\right)=\left(x^{2}-2x+3\right)\times\left(C\times\left(x-1\right)+a\right)+\left(\left(b+2a\right)x+\left(c-3a\right)\right)\)
    因为上面得出的式子是相当于由 \(f\left( x\right)\) 除以 \(x^{2}-2x+3\) 得出的。所以这条式子明显等价于 ②式。
  • 我们对其"待定系数法"一下,得到两个等式

    1. \(b+2a=4\)
    2. \(c-3a=6\)
  • 啊,这不对吧?两个式子怎么可以求出三个未知数?
    我们回到题目看一下:我们由始至终还有①式子未使用。 最后我们再加一个 \(f\left( 1\right)=2\) 也就是 \(a+b+c=2\) 来限定 \(a\),\(b\),\(c\)之间的关系就可以了。
  • 最后,得出来的方程组有三条等式。分别是:

    1. \(b+2a=4\)
    2. \(c-3a=6\)
    3. \(a+b+c=2\)
  • 解出来之后, \(a=-4\) \(b=12\) \(c=-6\)
  • 即 \(f\left( x\right)\) 除以 \(\left( x-1\right) \left( x^{2}-2x+3\right)\) 的余式 \(-4x^{2}+12x-6\)

一些话

  • 题目来源 : 为啥我算的答案和上面网友给出来的答案不一样,却和小猿搜题给出的答案一样
  • 其实我文中的方法,在高二的时候老师讲过了。但是,不知道为啥,一直迷迷糊糊的,理解不是很透彻,知道我高三的上数学课复习的时候才想清楚到底这个方法是为什么。
  • 为了想清楚这个方法到底是为什么,好像、、、好像那节数学课、、、我没听课、、、、
  • 写这篇文章一不小心就花了我近一个小时,感觉挺值得的。对于我来说,我也顺便回顾了一下这个算法。以防下次考试出现这个题型的时候再次懵逼。